一致连续是函数的一个重要性质。与注重于函数在“一点”情况的连续性刻画不同，一致连续是对函数在一个区间性质的刻画。
一致连续的定义如下：
设
f
(
x
)
在区间
X
上有定义。如果
∀
ϵ
>
0
,
∃
δ
>
0
,
s
.
t
.
∀
x
1
,
x
2
∈
X
,
只要
∣
x
1
−
x
2
∣
<
δ
,
都有
∣
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
∣
<
ϵ
,
就称
f
(
x
)
在
X
上一致连续。
设f(x)在区间X上有定义。如果\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,s.t.\\\forall x_1,x_2\in X,\\只要|x_1-x_2|<\delta,都有\\|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon,\\就称f(x)在X上一致连续。
设f(x)在区间X上有定义。如果∀ϵ>0,∃δ>0,s.t.∀x1,x2∈X,只要∣x1−x2∣<δ,都有∣f(x1)−f(x2)∣<ϵ,就称f(x)在X上一致连续。.
注意：如果函数在大区间上一致连续，则函数在小区间上也一致连续 一致连续还有一个由振幅刻画的充要条件：
设
f
(
x
)
在区间
X
上有定义，则
f
(
x
)
在
X
上一致连续
⟺
∀
ϵ
>
0
,
∃
δ
>
0
,
s
.
t
.
对任意闭子区间
I
⊂
X
,
只要
l
(
I
)
<
δ
,
都有
ω
f
(
I
)
<
ϵ
,
l
(
I
)
表示区间长度
设f(x)在区间X上有定义，则f(x)在X上一致连续\iff \\\forall \epsilon>0,\exist \delta >0,s.t.\\对任意闭子区间I\sub X,只要l(I)<\delta,都有\\\omega_f(I)<\epsilon,l(I)表示区间长度
设f(x)在区间X上有定义，则f(x)在X上一致连续⟺∀ϵ>0,∃δ>0,s.t.对任意闭子区间I⊂X,只要l(I)<δ,都有ωf(I)<ϵ,l(I)表示区间长度.
注：这个定理的证明是容易的
一致连续的振幅刻画.pdf 懒得打Latex了
对于一致连续的另一个等价刻画是这样的：
f
(
x
)
在区间
I
上一致连续
⟺
∀
{
x
n
1
}
,
{
x
n
2
}
⊂
I
,
只要
x
n
1
−
x
n
2
→
0
,
n
→
+
∞
就有
f
(
x
n
1
)
−
f
(
x
n
2
)
→
0
(
n
→
∞
)
f(x)在区间I上一致连续\iff\\\forall \{x_{n1}\},\{x_{n2}\}\sub I,只要x_{n1}-x_{n2}\rightarrow 0,n\rightarrow +\infty\\就有f(x_{n1})-f(x_{n2})\rightarrow 0(n\rightarrow \infty)
f(x)在区间I上一致连续⟺∀{xn1},{xn2}⊂I,只要xn1−xn2→0,n→+∞就有f(xn1)−f(xn2)→0(n→∞).
注：这个证明也不复杂，对于右推左考虑反证法 例：
若
f
(
x
)
在
[
a
,
c
]
,
[
c
,
b
]
上一致连续，那么
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上也一致连续
证明：只要考虑
x
1
∈
[
a
,
c
]
,
x
2
∈
[
c
,
b
]
的情况：
∣
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
∣
≤
∣
f
(
x
1
)
−
f
(
c
)
∣
+
∣
f
(
x
2
)
−
f
(
c
)
∣
,
得证
若f(x)在[a,c],[c,b]上一致连续，那么f(x)在[a,b]上也一致连续\\证明：只要考虑x_1\in[a,c],x_2\in[c,b]的情况：\\|f(x_1)-f(x_2)|\leq|f(x_1)-f(c)|+|f(x_2)-f(c)|,得证
若f(x)在[a,c],[c,b]上一致连续，那么f(x)在[a,b]上也一致连续证明：只要考虑x1∈[a,c],x2∈[c,b]的情况：∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−f(c)∣+∣f(x2)−f(c)∣,得证.
注意：此处使用的绝对值不等式之后还会多次使用。事实上，在证明与一致连续相关的结论时，这是一个很好的工具 例：
f
(
x
)
在有穷开区间
(
a
,
b
)
上一致连续，那么
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
上有界
f(x)在有穷开区间(a,b)上一致连续，那么f(x)在(a,b)上有界
f(x)在有穷开区间(a,b)上一致连续，那么f(x)在(a,b)上有界
不想打字X2
注：这里采取分类讨论的思想，因为在闭区间上函数有界很好说明， 闭区间有限开覆盖定理：以及Cantor定理的互推（较繁琐）
定理：
设
f
(
x
)
在有穷开区间
(
a
,
b
)
上连续，
则
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
上一致连续的充要条件是
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
与
lim
x
→
b
−
f
(
x
)
都存在
设f(x)在有穷开区间(a,b)上连续，\\则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是\\\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)与\lim_{x\rightarrow b^-}f(x)都存在
设f(x)在有穷开区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是limx→a+f(x)与limx→b−f(x)都存在.
如果将有穷区间改为无穷区间，那么必要性不再成立，但是充分性依然成立。 最后介绍一个非常有用的证函数在某区间一致连续的方法：